Родился и вырос вместе со своей семьёй и старшей сестрой в Нортгемптоне, графство Нортгемптоншир, Великобритания и получил образование в нортгемптонской средней школе для мальчиков, где был старостой и преуспел в спорте, музыке и театральном искусстве. Он мечтал стать профессиональным футболистом, как и его отец, Дэвид Смит, который играл за команду «Ноттс Каунти», а позже стал управлять собственным бизнесом по переработке пластмассы. Мэтт играл в молодёжных составах «Нортгемптон Таун» (с 11 до 12-ти лет), «Ноттингем Форест» (с 12 до 14-ти лет) и «Лестер Сити» (с 15 до 16-ти лет). В 16 лет он получил серьёзную травму спины и по настоянию отца был вынужден оставить спортивную карьеру. Ежедневно в течение года отец возил его на физиотерапию в Лестер, но Мэтт так и не набрал прежнюю спортивную форму. Его учитель, вопреки желанию самого Мэтта, записал его на роль десятого присяжного заседателя в адаптации пьесы «Двенадцать разгневанных мужчин». Хотя Смит и сыграл в постановке, он отказался продолжать актёрскую карьеру и принять участие в театральном фестивале. Однако учитель настоял и уговорил Мэтта присоединиться к лондонскому Национальному молодёжному театру. После окончания школы Мэтт рассматривал варианты продолжения обучения в Кембридже, как хотели многие из его одноклассников, а также планировал изучать политику в Шеффилде. В одном из интервью Смит отмечает: «Я просто хотел быть умным или хотел казаться умным. Хотел ходить в краснокирпичный университет и говорить „О, я занимаюсь политикой“. Раньше я читал книги Гора Видала и думал, что был крутым». В итоге он поступил в Университет Восточной Англии в Норвиче, где занялся изучением актёрского мастерства и литературного творчества.
Первыми ролями Смита были Томас Бекет в «Убийстве в соборе», а также Фагот в театральной постановке романа «Мастер и Маргарита» в Национальном молодёжном театре. Последняя роль дала актёру возможность нанять агента и получить первые профессиональные роли в спектаклях «Новые убийства» режиссёра Уилсона Милиама и «На берегу необъятного мира» Сары Фрэнком. Из-за нехватки времени Смит заключил договор с университетом и окончил последние два курса экстерном.